Sistemas Discretos y Sistemas Continuos

Muy Buenas Tardes para Todos

En esta oportunidad hablaremos sobre los sistemas continuos y los sistemas discretos, la manera en que se relacionan y se diferencian entre si, y sobre todo la manera en que varian con el tiempo.

Para empezar, entendamos un sistema continuo como aquel sistema que tiene un valor especifico para cada punto de la función, es decir, para una función Y=F(x), para todo valor de x habrá siempre un valor determinado de Y.

de esta maner obtenemos una grafica similar a esta:

Un sistema discreto, por el contrario, es aquel que solo presenta valores de Y para determinados valores de x, es decir, no todos los puntos de la grafica estan definidos.

de esta manera observariamos una grafica similar a esta:



Ambos sistemas se relacionan en la medida en que muestrean información valiosa y valida, con la diferencia que uno es mucho mas complejo, y el otro es mas simple y eficaz, pero no por ello impreciso, por algo es el tipo de señal usado en la tecnología digital.

Hay que tener en cuenta que ambos sistemas mantienen una relación directa entre ellas, que permite obtener una señal continua a partir de una discreta y visceversa.

Esto ha sido todo por ahora, seguiremos actualizando el Blog a medida que se requiera compartir más información valiosa sobre los sistemas y las señales.

Transformada de Fourier

Para la siguiente función, realizaremos un codigo en matlab que nos permita hallar la transformada de Fourier, tal como se observó en clase, y modificando el tiempo veremos como varia la función mediante una grafica. Utilizaremos los valores de tiempo 1, 5, 10 y 50 segundos para observar la manera en que se modifica la grafica de la función.

El codigo elaborado en Matlab para graficar la función es el siguiente:

clc

clear all
format long
T=1; 
O=[-10:.005:10];
Y=A.*T.*(sin((O*T/2))./(O.*T/2));
plot (O,Y,'-b')
grid on
title('Función para T=1seg');
ylabel('F(Omega)');

clc

clear all
format long
T=5;
O=[-10:.005:10];
Y=A.*T.*(sin((O*T/2))./(O.*T/2));
plot (O,Y,'-b')
grid on
title('Función para T=5seg');
ylabel('F(Omega)');

clc

clear all
format long
T=10;
O=[-10:.005:10];
Y=A.*T.*(sin((O*T/2))./(O.*T/2));
plot (O,Y,'-b')
grid on
title('Función para T=10seg');
ylabel('F(Omega)');

clc

clear all
format long
T=50;
O=[-10:.005:10];
Y=A.*T.*(sin((O*T/2))./(O.*T/2));
plot (O,Y,'-b')
grid on
title('Función para T=50seg');
ylabel('F(Omega)');

Las graficas obtenidas son las siguientes:

Serie de Fourier

En este post resolveremos el ejercicio planteado durante la clase mediante la aplicación de la serie de Fourier.
El ejercicio se basa en la siguiente función, la cual modificaremos bajo el concepto de la sumatoria de fourier para los valores de N=5, N=20 y N=50.

El codigo que se uso en Matlab para graficar las funciones fue el siguiente:

clc
clear all
syms t
syms h
fx=t;
xt=0;
xh=int((fx*exp(-j*pi*h*t)),-1,1)/2;
disp('la función para los coeficientes de fourier es:')
disp(xh);
N=5;

for co=-N:1:N
 if co==0
 v=0
else
xi=xh*exp(j*pi*h*t);
 v=subs(xi,h,co);
 end
 disp('componente numero:')
 disp(co)
disp(v)
xt=xt+v;
end

for ti=-2:0.01:2
xti=subs(xt,t,ti);
 plot(ti,xti,'--g.')
 grid on
hold on
 xlabel('Tiempo')
 ylabel('X(t) Aproximada')
 title('Serie de Fourier F(X)')
end

Teorema de Parseval

Fue creado por Marc Antonie Parseval en 1799. La relación de Parseval demuestra que la transformada de Fourier es unitaria, esto nos quiere decir que,la suma del cuadrado de una función es igual a la suma del cuadrado de su transformada.

Siendo F[f(t)](a) una transformada continua de Fourier.Es usada generalmente para indicar la unicidad de cualquier transformada de Fourier.

Ahora bien, sabiendo que el promedio de una señal cualquiera f(t) en un periodo dado (T) se puede calcular como la altura de un rectángulo que tenga la misma área bajo la curva f(t).

La formula de parseval esta definida por la siguiente expresión:

Esta relación es conocida como el teorema de Parseval y establece que la potencia promedio normalizada de una señal periódica F(t) es igual a la suma de los cuadrados de las amplitudes de sus componentes armónicas. Por tanto este teorema implica superposición de potencias promedios.

SISTEMAS LTI

Linear Time-Invariant

Es aquel que, como su propio nombre indica, cumple las propiedades de linealidad e invarianza en el tiempo.

Sistema Lineal Un sistema es lineal si satisface el principio de superposición, que engloba las propiedades de escalado (homogeneidad) y aditividad

También se les conoce como sistemas LTI (Linear Time Invariant) y son los que cumplen

simultáneamente con las condiciones mencionadas, o sea que al mismo tiempo son lineales y sus

características no varían en el tiempo. En el mundo real se trabaja con sistemas que no cumplen.

Ejemplos:

Circuito RLC

Ondas electromagnéticas

Una resistencia eléctrica

Un capacitor

Sistemas relacionados a MAS.

Relación con los sistemas LTI

principamente se relaciona por que la convolucion esta únicamente definida para los sistemas LTI, gracias a esto, podemos saber la salida de un sistema puesto que es la convolucion (la cual es un operador matematico) de una señal entrante con una respuesta del sistema  a un impulso.

Cuarta Publicación

11. 

      Io=1 ; B=1

format long

T=0:0.0002:10;

i=1;

b=1;

i1=i.*exp(-T);

i2=b.*(1-exp(-T));

I=i1+i2;

plot(T,i1,'-.r',T,i2,'--b',T,I,'y')

title('Corriente I(t): Io=1;B=1 ')

xlabel('Tiempo(s)')

ylabel('Corriente (A)')

2.

1.       I0=1 ; B=2

format long

T=0:0.0002:10;

i=1;

b=2;

i1=i.*exp(-T);

i2=b.*(1-exp(-T));

I=i1+i2;

plot(T,i1,'-.r',T,i2,'--b',T,I,'y')

title('Corriente I(t): Io=1;B=2 ')

xlabel('Tiempo(s)')

ylabel('Corriente (A)')

3.

1.       Io=0 ; B=1

format long

T=0:0.0002:10;

i=0;

b=1;

i1=i.*exp(-T);

i2=b.*(1-exp(-T));

I=i1+i2;

plot(T,i1,'-.r',T,i2,'--b',T,I,'y')

title('Corriente I(t): Io=0;B=1 ')

xlabel('Tiempo(s)')

ylabel('Corriente (A)')

4.

1.       Io=0 ; B=2

format long

T=0:0.0002:10;

i=0;

b=2;

i1=i.*exp(-T);

i2=b.*(1-exp(-T));

I=i1+i2;

plot(T,i1,'-.r',T,i2,'--b',T,I,'y')

title('Corriente I(t): Io=1;B=2 ')

xlabel('Tiempo(s)')

ylabel('Corriente (A)')

Periódico vs No periódico

Ejemplo 1.9

x(t)=sen(t) es una señal periódica.

CÓDIGO DE MATLAB

>> t=[-10:0.1:10];

>> x=sin(t);

>> plot(t,x)

Señal periódica (periodo de 2π)

     A)      

X(t)= sen(t)

Y(t)=A+ x(t)

A=0.5

CÓDIGO DE MATLAB

>> t=[-10:0.1:10];

>> x=sin(t);

>> A=0.5;

>> y=A+x;

>> plot(t,x,'r-',t,A,'g-',t,y,'b-')

Señal periódica en todo tiempo (periodo de 2π)

La roja es x(t)

La verde es  A

La azul y(t)

B)

x(t)= sen(t)

v(t)=

z(t)= x(t)+v(T)

CÓDIGO DE MATLAB

t=[-10:0.1:10];

x=sin(t);

v=t.*(t<0)+0.5*sin(t).*(t>0);

z=x+v;

plot(t,x,'r-',t,v,'g-',t,z,'b-')

Señal periódica cuando  t>0 (periodo de 2π)

La roja es x(t)

La verde es v(t)

La azul es z(t)

C)

X(t)= sen(t)

u(t)=

 w(t)= x(t)+u(T)

CÓDIGO DE MATLAB

t=[-10:0.1:20];

x=sin(t);

u=t.*(t<0)+sin(2*t).*(t>0)+0,5.*(t>0);

w=x+u;

plot(t,x,'r-',t,u,'g-',t,w,'b-');

Señal periódica cuando  t>0 (periodo de 4π)

La roja es x(t)

La verde es u(t)

La azul es w(t)

Comentario De la 2 Semana

Ecuaciones en diferencias.

Una ecuación en diferencias es una expresión que relaciona distintas sucesiones, siendo una de ellas una sucesión desconocida.
La ecuación de coeficientes lineales constantes (LCCD) es una representación de un sistema lineal basada en la ecuación de la media autorregresiva.

Ambos términos de esta ecuación pueden dividirse por , si no es cero, normalizando  la ecuación LCCD puede ser escrita

Esta forma de la ecuación LCCD es más explícita para comprobar que la salida actual  se define en función de las salidas anteriores , la entrada actual , y las entradas anteriores.


Ecuación diferencial.

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:

Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.

Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.

Orden de la ecuación

El orden de la derivada más alta en una ecuación diferencial se denomina orden de la ecuación.

Grado de la ecuación

Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación esté en forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.

Tipos de soluciones

Una solución de una ecuación diferencial es una función que al reemplazar a la función incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación, es decir, la convierte en una identidad. Hay tres tipos de soluciones:

Solución general: una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. La solución general es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc). En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente de y(x) ni de sus derivadas igual a 0) más una solución particular de la ecuación completa.

Solución particular: Si fijando cualquier punto P(X0,Y0) por donde debe pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuación, éste recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el punto P(X0,Y0), que recibe el nombre de condición inicial. Es un caso particular de la solución general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor específico.

Solución singular: una función que verifica la ecuación, pero que no se obtiene particularizando la solución general.

Nuestro mundo Tecnológico y el gran aporte de las Señales a el.

Como podemos apreciar en la actualidad, lo que nos rodea, el mundo que percibimos, es el avance tecnológico con el paso de los años, podremos comprar fácilmente como hace muchos años los métodos de comunicación no eran tan eficaces como lo son hoy en día, antes un mensaje de un extremo del mundo al otro podría durar meses en llegar, ahora tan solo basta unos pocos segundos para enviar o recibir un mensaje de un lugar muy apartado, todo esto se lo debemos a que la tecnología y los estudios han aprendido a crear y utilizar señales que mejoran la velocidad de los procesos, con el  fin de convertir nuestro mundo de una forma más amigable y sencilla para nosotros.

En la actualidad podemos apreciar como estos cambios son de gran ayuda, como por ejemplo salvar vidas de persona, pues hacen que una asistencia médica pueda ser más eficaz atreves de una llamada de un teléfono móvil, podemos ver como todo en nuestro entorno se relaciona con señales y se confabulan para así lograr grandes avances en la tecnología, existen muchos ejemplos que nos explican y aclaran la gran interrelación que tienen las señales en nuestro diario vivir, como el Gps en un automóvil, que le indica por donde podría ser la mejor opción para llegar  al destino deseado, otro claro ejemplo en la medicina un electrocardiograma que permite registrar el funcionamiento del corazón, con el cual los médicos pueden detectar problemas en el corazón y salvar vida con mucha más facilidad, en realidad existen tanto ejemplos y tantas aplicaciones de la tecnología haciendo uso de señales que me quedo corto nombrándolas; solo resta decir que con el paso del tiempo, el uso de las señales y tecnología se irá incrementando y serán de mucha más importancia, por lo cual debemos ser consientes de ello y hacer un buen uso de todas estas herramientas.