Sistemas Discretos y Sistemas Continuos

Muy Buenas Tardes para Todos

En esta oportunidad hablaremos sobre los sistemas continuos y los sistemas discretos, la manera en que se relacionan y se diferencian entre si, y sobre todo la manera en que varian con el tiempo.

Para empezar, entendamos un sistema continuo como aquel sistema que tiene un valor especifico para cada punto de la función, es decir, para una función Y=F(x), para todo valor de x habrá siempre un valor determinado de Y.

de esta maner obtenemos una grafica similar a esta:

Un sistema discreto, por el contrario, es aquel que solo presenta valores de Y para determinados valores de x, es decir, no todos los puntos de la grafica estan definidos.

de esta manera observariamos una grafica similar a esta:



Ambos sistemas se relacionan en la medida en que muestrean información valiosa y valida, con la diferencia que uno es mucho mas complejo, y el otro es mas simple y eficaz, pero no por ello impreciso, por algo es el tipo de señal usado en la tecnología digital.

Hay que tener en cuenta que ambos sistemas mantienen una relación directa entre ellas, que permite obtener una señal continua a partir de una discreta y visceversa.

Esto ha sido todo por ahora, seguiremos actualizando el Blog a medida que se requiera compartir más información valiosa sobre los sistemas y las señales.

Transformada de Fourier

Para la siguiente función, realizaremos un codigo en matlab que nos permita hallar la transformada de Fourier, tal como se observó en clase, y modificando el tiempo veremos como varia la función mediante una grafica. Utilizaremos los valores de tiempo 1, 5, 10 y 50 segundos para observar la manera en que se modifica la grafica de la función.

El codigo elaborado en Matlab para graficar la función es el siguiente:

clc

clear all
format long
T=1; 
O=[-10:.005:10];
Y=A.*T.*(sin((O*T/2))./(O.*T/2));
plot (O,Y,'-b')
grid on
title('Función para T=1seg');
ylabel('F(Omega)');

clc

clear all
format long
T=5;
O=[-10:.005:10];
Y=A.*T.*(sin((O*T/2))./(O.*T/2));
plot (O,Y,'-b')
grid on
title('Función para T=5seg');
ylabel('F(Omega)');

clc

clear all
format long
T=10;
O=[-10:.005:10];
Y=A.*T.*(sin((O*T/2))./(O.*T/2));
plot (O,Y,'-b')
grid on
title('Función para T=10seg');
ylabel('F(Omega)');

clc

clear all
format long
T=50;
O=[-10:.005:10];
Y=A.*T.*(sin((O*T/2))./(O.*T/2));
plot (O,Y,'-b')
grid on
title('Función para T=50seg');
ylabel('F(Omega)');

Las graficas obtenidas son las siguientes:

Serie de Fourier

En este post resolveremos el ejercicio planteado durante la clase mediante la aplicación de la serie de Fourier.
El ejercicio se basa en la siguiente función, la cual modificaremos bajo el concepto de la sumatoria de fourier para los valores de N=5, N=20 y N=50.

El codigo que se uso en Matlab para graficar las funciones fue el siguiente:

clc
clear all
syms t
syms h
fx=t;
xt=0;
xh=int((fx*exp(-j*pi*h*t)),-1,1)/2;
disp('la función para los coeficientes de fourier es:')
disp(xh);
N=5;

for co=-N:1:N
 if co==0
 v=0
else
xi=xh*exp(j*pi*h*t);
 v=subs(xi,h,co);
 end
 disp('componente numero:')
 disp(co)
disp(v)
xt=xt+v;
end

for ti=-2:0.01:2
xti=subs(xt,t,ti);
 plot(ti,xti,'--g.')
 grid on
hold on
 xlabel('Tiempo')
 ylabel('X(t) Aproximada')
 title('Serie de Fourier F(X)')
end

Teorema de Parseval

Fue creado por Marc Antonie Parseval en 1799. La relación de Parseval demuestra que la transformada de Fourier es unitaria, esto nos quiere decir que,la suma del cuadrado de una función es igual a la suma del cuadrado de su transformada.

Siendo F[f(t)](a) una transformada continua de Fourier.Es usada generalmente para indicar la unicidad de cualquier transformada de Fourier.

Ahora bien, sabiendo que el promedio de una señal cualquiera f(t) en un periodo dado (T) se puede calcular como la altura de un rectángulo que tenga la misma área bajo la curva f(t).

La formula de parseval esta definida por la siguiente expresión:

Esta relación es conocida como el teorema de Parseval y establece que la potencia promedio normalizada de una señal periódica F(t) es igual a la suma de los cuadrados de las amplitudes de sus componentes armónicas. Por tanto este teorema implica superposición de potencias promedios.

SISTEMAS LTI

Linear Time-Invariant

Es aquel que, como su propio nombre indica, cumple las propiedades de linealidad e invarianza en el tiempo.

Sistema Lineal Un sistema es lineal si satisface el principio de superposición, que engloba las propiedades de escalado (homogeneidad) y aditividad

También se les conoce como sistemas LTI (Linear Time Invariant) y son los que cumplen

simultáneamente con las condiciones mencionadas, o sea que al mismo tiempo son lineales y sus

características no varían en el tiempo. En el mundo real se trabaja con sistemas que no cumplen.

Ejemplos:

Circuito RLC

Ondas electromagnéticas

Una resistencia eléctrica

Un capacitor

Sistemas relacionados a MAS.

Relación con los sistemas LTI

principamente se relaciona por que la convolucion esta únicamente definida para los sistemas LTI, gracias a esto, podemos saber la salida de un sistema puesto que es la convolucion (la cual es un operador matematico) de una señal entrante con una respuesta del sistema  a un impulso.

Cuarta Publicación

11. 

      Io=1 ; B=1

format long

T=0:0.0002:10;

i=1;

b=1;

i1=i.*exp(-T);

i2=b.*(1-exp(-T));

I=i1+i2;

plot(T,i1,'-.r',T,i2,'--b',T,I,'y')

title('Corriente I(t): Io=1;B=1 ')

xlabel('Tiempo(s)')

ylabel('Corriente (A)')

2.

1.       I0=1 ; B=2

format long

T=0:0.0002:10;

i=1;

b=2;

i1=i.*exp(-T);

i2=b.*(1-exp(-T));

I=i1+i2;

plot(T,i1,'-.r',T,i2,'--b',T,I,'y')

title('Corriente I(t): Io=1;B=2 ')

xlabel('Tiempo(s)')

ylabel('Corriente (A)')

3.

1.       Io=0 ; B=1

format long

T=0:0.0002:10;

i=0;

b=1;

i1=i.*exp(-T);

i2=b.*(1-exp(-T));

I=i1+i2;

plot(T,i1,'-.r',T,i2,'--b',T,I,'y')

title('Corriente I(t): Io=0;B=1 ')

xlabel('Tiempo(s)')

ylabel('Corriente (A)')

4.

1.       Io=0 ; B=2

format long

T=0:0.0002:10;

i=0;

b=2;

i1=i.*exp(-T);

i2=b.*(1-exp(-T));

I=i1+i2;

plot(T,i1,'-.r',T,i2,'--b',T,I,'y')

title('Corriente I(t): Io=1;B=2 ')

xlabel('Tiempo(s)')

ylabel('Corriente (A)')

Periódico vs No periódico

Ejemplo 1.9

x(t)=sen(t) es una señal periódica.

CÓDIGO DE MATLAB

>> t=[-10:0.1:10];

>> x=sin(t);

>> plot(t,x)

Señal periódica (periodo de 2π)

     A)      

X(t)= sen(t)

Y(t)=A+ x(t)

A=0.5

CÓDIGO DE MATLAB

>> t=[-10:0.1:10];

>> x=sin(t);

>> A=0.5;

>> y=A+x;

>> plot(t,x,'r-',t,A,'g-',t,y,'b-')

Señal periódica en todo tiempo (periodo de 2π)

La roja es x(t)

La verde es  A

La azul y(t)

B)

x(t)= sen(t)

v(t)=

z(t)= x(t)+v(T)

CÓDIGO DE MATLAB

t=[-10:0.1:10];

x=sin(t);

v=t.*(t<0)+0.5*sin(t).*(t>0);

z=x+v;

plot(t,x,'r-',t,v,'g-',t,z,'b-')

Señal periódica cuando  t>0 (periodo de 2π)

La roja es x(t)

La verde es v(t)

La azul es z(t)

C)

X(t)= sen(t)

u(t)=

 w(t)= x(t)+u(T)

CÓDIGO DE MATLAB

t=[-10:0.1:20];

x=sin(t);

u=t.*(t<0)+sin(2*t).*(t>0)+0,5.*(t>0);

w=x+u;

plot(t,x,'r-',t,u,'g-',t,w,'b-');

Señal periódica cuando  t>0 (periodo de 4π)

La roja es x(t)

La verde es u(t)

La azul es w(t)